Ангилал: Алгебр
Тригнометр Функц (3-р хэсэг)
Туслах Теорем
Хэрвээ h функц нь 2-р эрэмбийн уламжлалтай (бvх бодит тооны хувьд), ба
h'' + h = 0,
h(0) = 0,
h'(0) = 0.
бол h = 0. (h нь налуу функц байна.)
Баталгаа
1-р тэнцэтгэлийг нь h' - ээр vржvvлвэл
h'h'' + h'h = 0
гарна. Тэгэхлээр
[(h')2 + h2]' = 0 = 2(h'h'' + h'h)
байна. Өөрөөр хэлбэл (h')2 + h2 чинь налуу функц байна. (Хэрвээ уламжлал нь бvх бодит тооны хувьд 0 бол функц нь налуу байдаг.) h(0) = 0, h'(0) = 0 гэсэн болохлээр
[h'(x)]2 + [h(x)]2 = 0 (бvх бодит х - ийн хувьд)
Энэ нь h(x)=0 налуу функц болохыг хэлж байна.
Теорем 31
Хэрвээ h функц нь 2-р эрэмбийн уламжлалтай (бvх бодит тооны хувьд), ба
h'' + h = 0,
h(0) = a,
h'(0) = b
бол h = b 
sin + a cos.
Баталгаа
g(x) = h(x) - b sin(x) - a cos(x) гэе. Тэгвэл
g'(x) = h'(x) - b cos(x) + a sin(x)
g''(x) = h''(x) + b sin(x) + a sin(x)
байна. Vvнээс h'' + h = 0, h(0) = 0, h'(0) = 0 болох нь харагдаж байна. Туслах теорем ёсоор бvх х - ийн хувьд
0 = g(x) = h(x) - b sin(x) - a cos(x)
h(x) = b sin(x) - a cos(x)
байна.
31 - р теоремийн ерөнхий тохиолдолыг бид дараа авч vзнэ. Харин энэ теорем бидэнд нэг чухал тригнометрийн адилтгалыг батлахад тусалдаг. (Ихэнх номнууд дээр энэ теоремийн баталгаанд геометр оролцдог. Харин бидний баталгаанд алгебраас өөр юм байхгvй!)
Теорем 32
Хэрвээ x, y хоёр нь зvгээр л бодит тоонууд бол
sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y).
Баталгаа
Дурын у - ийн хувьд
ф(х) = sin(x+y)
гэе. Тэгвэл
ф'(x) = cos(x+y)
ф''(x) = -sin(x+y)
байна. Vvнээс ф + ф'' = 0, ф(0) = sin(y), ф'(0) = cos(y) болох нь харагдаж байна. 31-р теорем ёсоор бvх х - ийн хувьд
ф(х) = sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
байна. Ямар ч у - ийг сонгож авч болох байсан болохлээр эхний томъёо нь батлагдлаа. Дараагийнх нь томъёог энэтэй төстэйгөөр баталдаг. Өөрөө оролдоод vзээрэй.
Бид өмнө нь
Пифагорийн адилтгал гэж нэрэлдэг sin2(x) + cos2(x) = 1 томъёоноос болон 32-р теоремоос янз бvрийн тригнометрийн адилтгалуудыг гаргаж авч болдог. Бид заримийг нь энд орууллаа.
x+y=a, x-y=b гэвэл x = (a + b)/2, y = (a - b)/2 байх ба
байна. sin(a)-sin(b), cos(a)-cos(b), cos(a)+cos(b) зэргийг бас иймэрхvv аргаар олдог.
байдаг. Баруун гар талд байгаа урт илэрхийллийх нь хvртвэр хувиарыг cos(x)cos(y) - д хуваавал (яагаад завал cos(x)cos(y) тохьромжтой гэж?)
гэсэн адилтгал гардаг. tan(x-y), cot(x+y), cot(x-y) зэргийг бас энэ маягаар олдог. (Ямар тоогоор хvртвэр хувиарийг нь яагаад хувааж байгааг ойлгож авах хэрэгтэй.)
г.м. - ийн юмнуудыг анхаарвал sin(x)cos(y), sin(x)sin(y), cos(x)cos(y) нартай тэнцvv адилтгалтуудыг хялбархан олж болно.
Чи энэ бvгдийг цээжлэх албагvй, харин зvгээр л эдгээрийг яаж олох аргуудыг нь мэдэж аваарай. Тэгвэл дараа хvссэн цагтаа олж чаддаг болно. (Зарим чухал хэдийг нь л цээжилчих.)
Эцэст нь x=y гэвэл бидний өмнөх адилтгалуудаас sin(2a) = 2sin(a)cos(a), cos(2a) = cos2a - sin2a гэсэн адилтгалууд гардаг. Энэ хоёрыг интегралчилах vйлдэлд хааяа нэг хэрэглэгддэг. (Бид дараа энэ тухай сурна.)
Бас нэг цээжлэх юм гэвэл
Нэгж тойргоо хар ухаанаараа санавал эдгээр утгууд sin, cos хоёрыг х, у тэнхлэгтэй 30 градус, 60 градусын өнцөг vvсгэхэдэд гардаг утгуудтай адил байна. Өөрөөр хэлбэл тэр зарим сурах бичгvvд дээр ирдэг том том хvснэгтvvдийг цээжлэх бол цагийн гарз, зvгээр л дээрх гурвын цээжлээд л, хаана нь эдгээр утга гардагийг мэдэж байх хэрэгтэй.
