Ангилал: Алгебр

Интеграл (2-р хэсэг)

Хичээлээ шууд нэг жишээгээр эхлэе. f(x) - ийг [0,2] дээр

гэж тодорхойлоё. P хуваалт дээр t_к-1<1к гэж байлаа гэж бодъё. Тэгвэл хэрвээ iк бол m_i=M_i=0 байна. (m, M хоёр юу болохыг бид өмнөх хичээл дээрээ тодорхойлсон.) Харин m_к=0, M_к=1 байна. Тодорхойлолт ёсоор

байна. Бас U(f,P) - L(f,P) = t_к - t_к-1 болохыг харж болно. Тэгэхлээр энэ функц, хэдийгээр тасралттай болов ч, интегралтай байна. Учир нь бид vргэлж дурын >0 - гийн хувьд

U(f,P) - L(f,P) <

байлгаж чадна. t_к - t_к-1 < байхад л хангалттай байна.

байна.

Практик амьдралд иймэрхvv тасралттай функц интегралчилах нь ховор л доо. Гэхдээ чамайг функц тасралттай л бол интегралгvй гэсэн юм байхгvй гэдгийг л ойлгуулах гэсэн юм. Бид интегралчихлах vйлдэлийг (яаж интегралын олох) Ньютон - Лейбницийн Теоремийг vзсэнийхээ дараа vзэх болно. Гэхдээ энэ томъёогvйгээр интеграл олох vйлдэл ямар хэцvv болохыг vзvvлэе.

f(x)=x² гэе. Бид хялбарыг бодож [0, b] дээр f - ийг интегралчлах болно. Хэрвээ P - гийн хуваалтуудыг (t_i-t_i-1) уртаараа хоорондоо адилхан гэж vзвэл бvгд b/n гэсэн урттай байна. Тэгвэл t₀=0, t₁=b/n, t₂=2b/n,..., t_i=ib/n байна. Тэгэхлээр

байна. 1²+...+k²=(1/6)k(k+1)(2k+1) байдгийг санавал

байна. Өөрөөр хэлбэл L(f,P) b³/3 U(f,P) буюу,

байна. Энэ юу гэсэн vг вэ? Бид одоо дараах дvрсийн талбайг олж чадна:

Жишээ нь, яг ийм талбайг b=3 vед олъё. Тэгвэл 27/3=9 байна!

За ингэж инегралын олох нь маш төвөгтөй байсан. Нэг сайхан мэдээ дуулгахад бид дараагийн хичээл дээр интегралуудыг голдуу маш амарханаар олоход тусалдаг нэг теоремийг vзэх болно (Ньютон - Лейбницийн теорем). Бид одоо бас нэг хэдэн теоремийг баталгаагvйгээр vзнэ. (Дараа завтай болоод ирэхлээрээ тусд нь батлахын бодолцоё. Гэхдээ баталгаанууд нь тийм их сонирхолтой биш, бас теоремнууд маань ойлгомжтой байна.)

Теорем 21

a < c < b гэе. Хэрвээ f функц [a, b] дээр интегралтай бол f нь [a, c] дээр болон, [c, b] дээр интегралтай ба

болно.

Теорем 22

Хэрвээ f, g хоёр [a, b] дээр интегралтай бол f+g нь [a, b] дээр интегралтай ба

болно.

Теорем 23

Хэрвээ f, g хоёр [a, b] дээр интегралтай бол fg нь [a, b] дээр интегралтай.

Теорем 24

Хэрвээ f нь [a, b] дээр интегралтай бол дурын бодит тоо с байхад cf нь [a, b] дээр интегралтай ба

болно.

Теорем 25

Хэрвээ f нь [a, b] дээр интегралтай ба [a, b] завсарын хоорондох бvх х - гийн хувьд m f(x) M бол

болно.

Баталгаа

Ямар ч P хуваалтын хувьд m(b-a) L(f,P), U(f,P) M(b-a) байх нь ойлгомжтой байна.

Теорем 26

Хэрвээ f нь [a, b] дээр интегралтай ба F - ийг [a, b] дээр

гэж тодорхойлвол F нь [a, b] дээр тасралтгvй байна.

За нээрээ vнэхээр завтай болоод ирэхлээрээ эдгээр теоремуудыг баталгааг хавсралт болгож оруулна аа... Энэ теоремнууд хичнээн чухал болохыг бид интегралчлаад ирэхлээрээ аяндаа харна.