Тригнометр Функц (3-р хэсэг)

Туслах Теорем

Хэрвээ h функц нь 2-р эрэмбийн уламжлалтай (бvх бодит тооны хувьд), ба

h'' + h = 0,
h(0) = 0,
h'(0) = 0.

бол h = 0. (h нь налуу функц байна.)

Баталгаа

1-р тэнцэтгэлийг нь h' - ээр vржvvлвэл

h'h'' + h'h = 0

гарна. Тэгэхлээр

[(h')² + h²]' = 0 = 2(h'h'' + h'h)

байна. Өөрөөр хэлбэл (h')² + h² чинь налуу функц байна. (Хэрвээ уламжлал нь бvх бодит тооны хувьд 0 бол функц нь налуу байдаг.) h(0) = 0, h'(0) = 0 гэсэн болохлээр

[h...

Шууд холбоос

Тригнометрийн Функц (2-р хэсэг)

Бид sin(x), cos(x) функцvvдийн графикийг уламжлалыг нь ашиглаж байгаад хялбархан зурж болно. Тодорхойлогдох муж нь бvх бодит тоо, утгын муж нь [-1,1] билээ.

Бvх х - ийн хувьд f(x+a) = f(x) бол f функцийг vет функц гэж нэрэлдэг. a - г f функцийн vе гэнэ.

Бидний vзсэн тригнометрийн хоёр функц vет функц болохыг харж болно. Vе нь 2 болно.

sin(x), cos(x) хоёрыг л мэдэж байхад бусад тригнометрийн функцуудийг тодорхойлох хэцvv биш.

Энэ дө...

Шууд холбоос

Тригнометрийн Функц

Энэ хичээл дээрээ бид тригнометрийн функцvvдийг талбайгаар тодорхойлно. (Ихэнх сурах бичгvvд тойргийн уртыг ашигладаг.) Бас энэ хичээлийг ойлгоход радиан хэмжигдхvvн, нэгж тойргийн мэдлэг шаардагдана.

Тойргийн талбай A=r², тойргийн урт C=2r (r нь радиус) байдгийг санавал нэгж тойргийн урт 2, талбай нь байна.

Хэрвээ х тойргийн урттай ямар нэгэн нэгж тойрог дээрх нум байвал тэр нум тойргийн бvх талбайн х/2 хэсгийг эзэлж байна. Тойрогийн талбай нь болохлээр:

...

Шууд холбоос

Ньютон - Лейбницийн Теорем

Хоорондоо ямар ч холбоогvй мэт харагдах уламжлал интеграл хоёрыг холбодог энэ теорем нь гайхалтай гэмээр энгийн. Баталгаа нь ч хялбар.

Бид гол зорьлогоо дахин нэг хэлнэ: функцийг дээд, доод нийлбэрvvдийг нь олно гэж ядаргаатахгvйгээр интегралчихал. (f(x)=x² функцийн интегралыг тэгэж олох ямар хэцvv байсныг санаж байна уу?) Бид өмнө нь F(x) функцийг тодорхойлж байсан. Хэрвээ энэ функцийн хялбар томъёог олоодохвол интегралыг хялбарханаар олох гээд байна. Гэхдээ яг F(x) функцрvv дайраад юу ч олж до...

Шууд холбоос

 

Интеграл (2-р хэсэг)

Хичээлээ шууд нэг жишээгээр эхлэе. f(x) - ийг [0,2] дээр

гэж тодорхойлоё. P хуваалт дээр t_к-1<1к гэж байлаа гэж бодъё. Тэгвэл хэрвээ iк бол m_i=M_i=0 байна. (m, M хоёр юу болохыг бид өмнөх хичээл дээрээ тодорхойлсон.) Харин m_к=0, M_к=1 байна. Тодорхойлолт ёсоор

байна. Бас U(f,P) - L(f,P) = t_к - t_к-1 болохыг харж болно. Тэгэхлээр энэ функц, хэдийгээр тасралттай болов ч, интегралтай байна. Учир нь бид vргэлж дурын >0 - гийн хувьд

U(f,P) - L(f,P) <

байлгаж чадна. t_к - t_к-1 < байхад л хангалттай байна.

байна.

Практик амьдралд иймэрхvv тасралттай функц интегралчилах нь ховор л доо. Гэхдээ чамайг функц тасралттай л бол интегралгvй гэсэн юм байхгvй гэдгийг л ойлгуулах гэсэн юм. Бид интегралчихлах vйлдэлийг (яаж интегралын олох) Ньютон - Лейбницийн Теоремийг vзсэнийхээ дараа vзэх болно. Гэхдээ энэ томъёогvйгээр интеграл олох vйлдэл ямар хэцvv болохыг vзvvлэе.

f(x)=x² гэе. Бид хялбарыг бодож [0, b] дээр f - ийг интегралчлах болно. Хэрвээ P - гийн хуваалтуудыг (t_i-t_i-1) уртаараа хоорондоо адилхан гэж vзвэл бvгд b/n гэсэн урттай байна. Тэгвэл t₀=0, t₁=b/n, t₂=2b/n,..., t_i=ib/n байна. Тэгэхлээр

байна. 1²+...+k²=(1/6)k(k+1)(2k+1) байдгийг санавал

байна. Өөрөөр хэлбэл L(f,P) b³/3 U(f,P) буюу,

байна. Энэ юу гэсэн vг вэ? Бид одоо дараах дvрсийн талбайг олж чадна:

Жишээ нь, яг ийм талбайг b=3 vед олъё. Тэгвэл 27/3=9 байна!

За ингэж инегралын олох нь маш төвөгтөй байсан. Нэг сайхан мэдээ дуулгахад бид дараагийн хичээл дээр интегралуудыг голдуу маш амарханаар олоход тусалдаг нэг теоремийг vзэх болно (Ньютон - Лейбницийн теорем). Бид одоо бас нэг хэдэн теоремийг баталгаагvйгээр vзнэ. (Дараа завтай болоод ирэхлээрээ тусд нь батлахын бодолцоё. Гэхдээ баталгаанууд нь тийм их сонирхолтой биш, бас теоремнууд маань ойлгомжтой байна.)

Теорем 21

a < c < b гэе. Хэрвээ f функц [a, b] дээр интегралтай бол f нь [a, c] дээр болон, [c, b] дээр интегралтай ба

болно.

Теорем 22

Хэрвээ f, g хоёр [a, b] дээр интегралтай бол f+g нь [a, b] дээр интегралтай ба

болно.

Теорем 23

Хэрвээ f, g хоёр [a, b] дээр интегралтай бол fg нь [a, b] дээр интегралтай.

Теорем 24

Хэрвээ f нь [a, b] дээр интегралтай бол дурын бодит тоо с байхад cf нь [a, b] дээр интегралтай ба

болно.

Теорем 25

Хэрвээ f нь [a, b] дээр интегралтай ба [a, b] завсарын хоорондох бvх х - гийн хувьд m f(x) M бол

болно.

Баталгаа

Ямар ч P хуваалтын хувьд m(b-a) L(f,P), U(f,P) M(b-a) байх нь ойлгомжтой байна.

Теорем 26

Хэрвээ f нь [a, b] дээр интегралтай ба F - ийг [a, b] дээр

гэж тодорхойлвол F нь [a, b] дээр тасралтгvй байна.

За нээрээ vнэхээр завтай болоод ирэхлээрээ эдгээр теоремуудыг баталгааг хавсралт болгож оруулна аа... Энэ теоремнууд хичнээн чухал болохыг бид интегралчлаад ирэхлээрээ аяндаа харна.

Шууд холбоос